Sakin olun.
Burada gördüğünüz formül neredeyse 2 asırlık, ancak bugün onun sayesinde bazı kullanışlı teknolojilere sahibiz. İstediğimiz müziğe saniyeler içerisinde ulaşıyor, istediğimiz görüntüyü anında sosyal medyada paylaşabiliyoruz.
Tüm bunların matematikle ne kadar ilgisi olduğuna cevap arıyorsunuz, biliyoruz. Bunun için bilincimizdeki zaman makinesine biniyor ve 1822 yılına, Fransa’daki bir kütüphanede gözümüzü açıyoruz. Raflarda duran yeni basılmış 'Isının Analitik Teorisi' isimli bir kitap dikkatimizi çekiyor. Sayfalarını çeviriyor, aynı formülü yine karşımızda görüyoruz.
Kitabın yazarına bakıyoruz: Baron Jean-Baptiste-Joseph Fourier
9 yaşında anne ve babasını kaybedince büyük bir darbe yedi, askeri okulda aldığı eğitimle içindeki matematik dehasını ortaya çıkardı. Fourier, yukarıdaki formülü ortaya koyan matematikçiydi. Ancak yaptığı şeyin gelecekteki insanların hayatlarını nasıl değiştireceğinden bihaberdi.
Fourier’in yaptığı matematiğin sınırlarını aştı, mühendislik ve teknolojiye ciddi şekilde yön verdi.
Peki, bu dâhi aslında neyin peşindeydi?
Fourier, aslında ısının nasıl iletildiğiyle ilgileniyordu. Onun merakı, bu tuhaf enerjinin maddelerin içinde ne hızda ve nasıl ilerlediği üzerineydi. Yaptığı çalışmalarla bir formül geliştirdi.
Bugün elektromanyetik sinyal dediğinizde aklınızda böyle frekans dalgaları beliriyor mu?
Fourier, daha elektromanyetik sinyalleri görselleştiremediğimiz yıllarda, tuhaf bir bağlantıyı keşfetmişti. Karmaşık frekansa sahip sinyallerin, düzenli frekansa sahip sinyallerin birleşiminden oluştuğunu anladı. Yani birden fazla basit sinyali üst üste ekleyerek, daha kompleks bir yapıya sahip dalgalar oluşturulabilirdi.
Örnekle açıklayalım:
Evrim Ağacı’nın kurucusu Dr. Çağrı Mert Bakırcı, bu durumu üç farklı piyanonun tuşuna aynı anda basmaya benzetiyor. Her biri tuşun sesini birer sinüs dalgalarıyla ifade edebiliyoruz. Bu sesleri üst üste koyduğumuzda ise daha karmaşık bir ses ve ses dalgası elde ediyoruz.
Fourier, karmaşık dalgaları sinüs dalgalarıyla açıklamak istemişti. Asıl tespiti ise dalgaları birleştirme işleminin tam tersini ifade ediyordu.
Karmaşık dalgaların tümünü yüzlerce, binlerce hatta milyonlarca basit dalgaya ayırmak mümkündü!
Yani eğer karmaşık bir sinyal üretmek istiyorsanız, kaç farklı basit sinyale ihtiyacınız olduğunu hesaplayabilirdik. Bu da ne demek?
Diyelim ki bir müzisyensiniz ve aklınıza güzel bir ezgi geldi...
Bu ezgiyi notalara dökmek, sesleri enstrümanlara dökmek gerekiyor. Yani karmaşık bir ezgiyi daha basit parçalara ayırmak zorundasınız. Fourier’in Dönüşümü sayesinde ihtiyacınız olan tüm basit dalgaları hesaplayabilirsiniz. Üstelik doğruluk oranınız ise %100 olacaktır.
Fourier’in ürettiği formül karmaşık bir bütünü basit parçalara ayırmanın tek adımda gerçekleşmesini sağlıyor.
- x(t): Elde etmek istediğiniz karmaşık sinyalin ta kendisi,
- e üzeri (−jπ2ft): Korkunç görünse de aslında sinüsoid dalgalarını ifade ediyor,
İki terimi çarpıp sonucun integralini aldığınızda sinüs dalgalarını basit parçalara bölmüş oluyorsunuz. Sonuçtaki X(f) terimi ise her bir basit sinyal büyüklüğünü ve gecikme miktarını sunuyor.
Şimdi (nihayet) gelelim günümüze ve bu formülü kullandığımız yerlere:
Aklınıza gelen o güzel ezgiye sahip şarkıyı bestelediniz ve kayda girdiniz. Bütün enstrümanlar teker teker ve ayrı ayrı çalındı, kaydedildi. Kaydedilen her ses, ideal bir şekilde üst üste getirildi ve şarkınız ortaya çıktı.
Yani birden fazla basit ses dalgasını üst üste birleştirip karmaşık bir dalgayı, yani şarkıyı oluşturuyorsunuz.
Yapılması gereken tek bir şey kalıyor: Bu şarkıyı insanlara ulaştırmak ve kolayca dinlemelerini sağlamak. İşte o sırada tüm bu karmaşık ses dosyalarının tek bir dosyada birleşmesi gerekiyor. Yani 'miksleme' denilen işlemi gerçekleştirmeniz lazım.
Evet, doğru bildiniz. .MP3 burada ortaya çıkıyor:
Normalde kayıt dosyalarını doğrudan insanlara sunmanız imkansız. Nitekim ortaya çıkan son dosya transfer etmek için oldukça uygun bir veri boyutuna sahip.
Eğer dinlediğiniz bir müziği Fourier dönüşümü ile parçalarına ayırırsanız, bazı seslerin düşük ve bazılarının yüksek frekansa sahip olduklarını görürsünüz. Popüler dosya formatı .MP3 için de bu durum geçerlidir. Bu dosyada duymanın bir anlam ifade etmediği tüm gereksiz ses frekansları çıkarılmış olur. Fourier’in dönüşümü sayesinde, sadece duymamız gereken sesleri üst üste ekler, diğerlerini eleriz.
Peki, Spotify gibi uygulamalardaki şarkıların .MP3 formatından ne farkı var?
Artık .MP3 gibi çözümlerin de geride kaldığı bir dönemdeyiz. Spotify, Shazam ve diğer popüler müzik platformlarındaki dosya formatı ise .OGG koduyla bildiğimiz Ogg Vorbis. Bu formattaki dalga dönüşümü ise Fourier Dönüşümü ile değil, Ayrık Kosinüs Dönüşümü ile gerçekleştiriliyor.
Shazam'da bir şarkı arattığınızda uygulama, bu dönüşümü kullanarak ses dalgaları içindeki basit frakansları ayrıştırıyor. Ayrışan basit frekanslarla Shazam’ın elindeki veri tabanında bulunan frekans değerleri eşleşince aradığını şarkıyı da bulmuş oluyorsunuz. Yani Shazam, aslında bütün şarkıyı değil, içindeki en uygun frekansları dinleyip ayırt ediyor.
Gürültü engelleyen kulaklıklar!?
Eğer gerçek bir gürültü engelleyici kulaklığınız varsa kulaklığınız Fourier Dönüşümü’nü kullanıyor. Kulaklık çevrenizdeki sesi algılıyor, kaydediyor, ses spektrumunu basit dalgalara ayırıyor, analiz ediyor ve dinlediğiniz müziğin frekanslarını sonuca göre değiştiriyor. Tam o sırada yanınızda bir korna çalıyorsa frekanslar yükseliyor ve gürültü anlık olarak kesiliyor.
Görsellerdeki .JPG formatı!?
Yukarıdaki görseli bilgisayarınıza kaydettiğinizde formatı .JPG olacak. Bu kayıt esnasında bilgisayarınız Fourier Dönüşümleri yaparak görüntüdeki renkleri ve parlaklıkları basit dalgalar şeklinde algılayacak ve bazı yüksek frekansları atacak. Atılan bu frekansları biz gözümüzle neredeyse fark bile edemeyeceğiz.
Hatta WhatsApp’tan yaptığınız fotoğraf alışverişini düşünün. Normalde aşırı büyük piksel içeren o fotoğraflar WhatsApp’tan gidince bir anda görsel kalitelerini kaybediyor. Bu gönderim sırasında WhatsApp uygulaması, görüntüyü basit dalgalara ayırıp bazı frekansları siliyor. Sonuç olarak karşı tarafa görüntü gidiyor ancak silinen frekanslar yüzünden bariz bir kalite kaybı yaşanıyor. WhatsApp, bu işlemleri transferi kolaylaştırmak için gerçekleştiriyor. Sonuç olarak 8-9 MB boyutundaki bir fotoğrafı 150 KB olarak iletebiliyoruz.
Muhteşem, değil mi?
O zamanlar ne yaptığının farkında olmayan Fourier asıl amacına ulaşmış mıydı?
Faurer gibi bir dahi için elbette müziği kolay dinlemek ya da WhatsApp grubundan selfie göndermek sorun değildi. Onun ısının iletimiyle ilgilendiğini söylemiştik. Kendisi, ortaya koyduğu dönüşüm formülüyle ısı hareketini modelleyebildi. Isının nasıl iletildiğini çok çok iyi anladı.
Bugün yeryüzünde ya da uzayda bulunan bir araçta kullanılan malzemelerin ısıya olan duyarlılığını merak ediyorsak yine Fourier’in Dönüşümü’ne göz atıyoruz.
Tek bir formül, 200 yıl içinde işte böyle değerleniyor.
Umarız bugün öğrendikleriniz; matematik ve genel olarak tüm bilimsel alanların ne kadar önemli olduğunu bir kez daha göstermiştir.
- Kaynaklar: Evrim Ağacı, Gizmodo