Matematik, aslında hayatımızda hep var olan ama gerçek hayattaki izlerini görmenin her zaman çok da kolay olmadığı bir alan olarak karşımıza çıkıyor. Birçok öğrencinin korkulu rüyası olan bu ders ya da başka bir deyişle “bilim” üniversitede hangi bölümü okuyabileceğimizden ileride hangi şehirde çalışacağımıza kadar bir çok konuda belirleyici bir bir konumda. Bu durum Platon’un geometri bilmeyen (yani matematiksel olanı kavrayamamış olan) giremez lafını bir kez daha haklı çıkarıyor.
Konu matematik olunca, akla ilk gelen şeylerden birisi de kullanılan formüller oluyor. Özellikle TYT, ATY, KPSS ve ALES gibi sınavlarda, matematik bölümünde bazı soruları çözmek ya da çözüm yolunu basite indirgemek için bazı formüllere ihtiyacımız olabiliyor. Bu formüllerden birisi de küp açılımı ile ilgili olan formüller. Özellikle çarpanlara ayırma konusunda son derece önemli olan bu formüllere gelin birlikte bakalım.
Küp açılımı nedir?
Küp açılımı matematiğin, özellikle de çarpanlara ayırma konusunun önemli bir bölümünü oluşturur. Birden fazla olan ve a³ + b³ şeklinde ifade ettiğimiz açılımlara küp açılımı denir. Sınavlarda en fazla çıkan küp açılımları iki ifadenin küpünün toplamı ve iki ifadenin toplamının küpüdür. İlk olarak bu iki açılımı formüle dökecek olursak:
- İki küpün toplamı: x³ + y³ = (x + y).(x² - xy + y²) şeklinde ifade edilirken,
- İki küpün farkı: x³ - y³ = (x - y).(x² + xy + y²) şeklide ifade edilir.
Bu iki formül birçok matematik sorusunu çözmenizde faydalı olacaktır. Bu formüllerin kullanımına gelin basit bir matematik sorusu üstünden bakalım. Örnek Soru: x³ - 64 ifadesini çarpanlarına ayırınız.
Şimdi ilk olarak yapmamız gereken 64’ü 4³ şeklinde yazmak olacaktır. Bu durumda karşımıza çıkan ifade x³-4³ olacaktır. Aynı formülümüzde olduğu gibi x³-4³ (yani x³-y³) ifadesine sahibibiz. Sahip olduğumuz değerler arasındaki işaret - olduğu için kullanmamız gereken formül x³ - y³ = (x - y).(x²+ xy + y²)’dir.
Formülümüzü ezbere bildikten sonra yapmamız gereken tek şey sahip olduğumuz x³ - 4³ değerlerini formülümüze yerleştirmek olacaktır. Bunu yaptığımız takdirde karşımıza çıkan sonuç x³ - 4³ = (x - 4).(x² + 4x + 4²) olur. Ortaya çıkan bu sonucu kullanarak sorularda çıkan problemlerin çözümünü sağlayabiliriz.
Küp açılımı ile ilgili kullanabileceğimiz formüller tabii ki bunlarla sınırlı değil. Diğer formüllere geçmeden önce burada bir duralım. Yazımızın başında da bahsettiğimiz üzere ÖSYM sınavları hayatımızda önemli bir yer tutmakta. Eğer siz de bu sınavlardan bir tanesine hazırlanıyorsanız daha önce sizler için derlediğimiz ve sınava hazırlanmanız konusunda son derece yardımcı olacak mobil uygulamalara aşağıdaki buradan ulaşabilirsiniz.
Konu çarpanlara ayırma ya da küp açılımı olduğu zaman kullanabileceğimiz iki farklı formül daha bulunmakta. Daha önce ele aldığımız iki küpün toplamı ve farkı yerine bu sefer iki terimin farkının ve toplamlarının küpünün açılımını nasıl yapabileceğimizi göreceğiz. Bu sefer x ve y yerine a ve b harflerini kullanalım.
Fark ve toplamların küpünü hesaplamak için ihtiyacımız olan formüller:
- İki ifadenin farkının küpü için: (a − b)³ = a³ − 3a² b + 3ab² − b³
- İki ifadenin toplamının küpü: (a + b)³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³
Özellikle çarpanlara ayırma sorularında daha önce sözünü ettiğimiz formüllerin dışında bu iki formül de son derece kolaylık sağlayacaktır. Olayı daha iyi kavrayabilmek açısından basit bir soru üzerinden bu formülleri nasıl kullanabileceğimize bakalım.
Örnek soru: İki reel sayının toplamı 7, çarpımları 10 ise küplerinin toplamı nedir?
Daha önceki soruda yaptığımız gibi, karşımıza çıkan değerlere göre ifadenin küp açılımını yapıyoruz. İfademiz iki değer arasındaki farkın küpü olduğu için kullanmamız gereken formül (a + b)³ = a³ + 3a² b + 3ab² + b³ olacaktır. Bu formülü ezbere bildikten sonra rakamları yerlerine yazarak istediğimiz sonuca ulaşabilir.
İlk olarak sorumuzda iki reel sayının toplamından bahsetmekte. Bu yüzden direkt olarak (a+b)³ parentezinin içine 7 rakamını koyabiliriz.
Bu durumda karşımıza çıkan sonuç:
7³ =a³ +3ab(a + b) + b³ olduğundan, bu sonuçtan yola çıkarak 7’nin küpünü 343 olarak hesaplıyoruz. İki reel sayının toplamını ve çarpımını bildiğimiz için yeni çıkan denklemizde yerlerine yazıyoruz. 343= a³ + 3.10.7+b³
Bu noktaya kadar denklemimizde sadece a³ ve b³ ifadeleri kalacak şekilde sadeleştirebildik. Şimdi bizden istenilen küplerin toplamı olduğu için a³ ve b³ ‘ü yalnız bırakarak sonuca ulaşıyoruz. İşlemlerimizde devam ettiğimiz takdirde karşımıza 3.10.7’den elde ettiğimiz 210 sayısını karşı tarafa gönderdiğimizde eksi olarak geçeceği için 343-210 işlemi sonucunda karşımıza çıkan sonuç a³ + b³ = 133 oluyor.
Matematik gerçekten de son derece geniş bir alan. Aynı zamanda gerek sınavlarda olsun gerekse günlük hayatta her zaman karşımıza çıkan bir bilim. Bu yazımızda sizler için derlediğimiz formülleri kullanarak en azından çarpanlara ayırma ve üslü sayılar gibi konularda eksiklerinizi bir nebze giderebilirsiniz ve sınavlarda daha iyi sonuçlar alabilirsiniz.
