Matematik dediğimiz anda bile eminiz pek çok kişinin karnına ufak kramplar giriyordur çünkü kabul edelim ülke olarak sayılarla aramız pek iyi değil. Fakat ilginçtir, günümüzden binlerce yıl önce matematiğin temel kurallarını belirleyen isimlerin büyük bir bölümü ya topraklarımızda ya da yakın topraklarda yaşadı. İşte bu isimlerden bir tanesi de geometrinin kurucusu olarak anılan Öklid’dir.
Öklid denilince aklımıza ilk gelen, kendi adıyla anılan Öklid teoremi oluyor. Tarih boyunca pek çok matematikçi tarafından farklı ispatlarla açıklanan bu teorem, Öklid tarafından kaleme alınan ve günümüze kalan tek kitabı olan Elementler’de anlatılır. Elementler kitabı Öklid’i anlamak için son derece önemlidir çünkü bulduğu aksiyom sistemi, geometrinin temelini oluşturur.
Hiç bilmeyenler için kısaca anlatalım: Öklid kimdir?
Öklid, milattan önce 330 yılında Mısır’ın İskenderiye kentinde doğduğu ve milattan önce 257 yılında aynı yerde öldüğü tahmin edilen antik dönem matematikçisidir. Tahmin edilen diyoruz çünkü İskenderiyeli Öklid olarak da anılan bu tarihi figürün hayatı hakkında neredeyse hiçbir şey bilinmiyor. Ondan geriye kalan en önemli miras Elementler adını verdiği geometri kitabıdır. Bu nedenle kendisi geometrinin kurucusu olarak da anılır.
Öklid’in aslında Elementler kitabından başka eserler de kaleme aldığı söylenir ancak bunların hiçbiri günümüze ulaşamamıştır. Milattan sonra 5. yüzyılda yaşamış Atinalı Filozof Proclus, dağınık haldeki Elementler kitabını bir araya getirdiğini söyler. Benzer dönemde yaşamış Stobaeus ise Öklid hakkındaki en doğru el yazmalarını topladığını söyler.
Öklid aslında geometrinin dağınık parçalarını bir araya getirdi:
Öklid döneminde ve öncesinde de aslında o dönem yaşayan kişiler bir şekilde geometri ve matematikle uğraşıyor ve uygulamalı teknikler kullanıyorlardı. Örneğin Antik Mısır döneminde yaşayanlar uygulamalı teknikler kullanarak daire ve kare hesaplamaları yapıyorlardı. Pi sayısını gerçeğine oldukça yakın bir şekilde 3.16 olarak alıyorlardı.
Antik Babillilerin uygulamalı matematik üzerine önemli çalışmaları vardır. Günümüze kadar gelen tabletlerine baktığımız zaman Pisagor teoremine uygun çalışmalar yaptıklarını görüyoruz. İşte Öklid tüm bunları aldı, düzenledi, kontrol etti ve ispat ettiklerini Elementler kitabında toplayarak geometriyi kurdu.
Elementler kitabında geometri, bir aksiyom sistemi olarak sunulur:
Öklid tarafından hazırlanan Elementler kitabı bir tür ders kitabı niteliğindedir ve 3 temel bölüme ayrılmış 13 alt başlıktan oluşur. Düzlem geometrisinin, aritmetiğin, sayı teorisinin ve katı geometrinin anlatıldığı kitapta tanımlar, postülatlar ve aksiyom adı verilen ortak fikirler vardır. Kitap tüm bunları bir tür aksiyom sistemi olarak sunar. Kitapta anlatılan bazı postülat ve aksiyomlar şu şekilde;
- Postülatlar;
- Herhangi bir noktaya, herhangi bir başka noktadan düz doğru çizilir.
- Bir doğru parçasını her iki yöne doğru eşit olarak sürekli uzatabiliriz.
- Bir merkez ya da yarıçap ile çember tanımı yapılabilir.
- Tüm dik açılar birbirine eşittir.
- Aksiyomlar;
- Bir şeye eşit olan şeyler, birbirlerine de eşit olur.
- Eşit miktara ne kadar eşit eklenirse tüm eşit olur.
- Eşitten eşit çıkarırsak kalanlar eşit olur.
- Birbiriyle çakışan ve özellikleri aynı olan şeyler eşittir.
- Tüm, her zaman parçadan büyüktür.
Öklid’in etkisi günümüzde bile sürüyor:
Öklid tarafından yazıldığı bilinen Elementler dışında Data, Geometrik Şekillerin Bölünmesi, Olaylar ve Optik isimli başka çalışmalar da var. Bunlar Elementler kadar geniş kitaplar değil sadece bazı çalışmalardır ancak günümüze kadar gelmeyi başarmışlardır. Günümüze kadar gelmeyen kitaplarının varlığını ise antik dönem yazmalarında ona yapılan atıflardan biliyoruz.
Neredeyse 19. yüzyılın sonuna kadar Elementler kitabı bilinen en doğru ve mükemmel mantık yürütme olarak kabul edildi. Hollandalı Filozof Baruch de Spinoza’nın 17. yüzyılda kaleme aldığı Etik kitabı, Elementler kitabını model almıştır. Avusturyalı Ekonomist Ludwig von Mises’in 20. yüzyılda kaleme aldığı İnsan Eylemi isimli kitap da Öklid’in metodunu benimsemiştir.
Peki ya Öklid teoremi nedir?
Bugün Öklid teoremi olarak anılan teorem, sonsuz sayıda asal sayı olduğunu söyler. Daha sonra pek çok matematikçi tarafından da ispat edilen Öklid teoremi, Öklid tarafından Elementler kitabında anlatılmıştır. Kısaca özetlemek gerekirse;
- p1, p2, ..., pn bir sonlu asal sayı listesidir.
- P = p1p2...pn. q = P + 1 olursa q ya asal değildir ya da asaldır.
- Asal ve asal olmamasına göre işlemler değişir.
Bir de Öklid bağıntısı var:
Yukarıdaki şekle göre;
- h² = p x k
- b² = k x a
- c² = p x a
Öklid’in yazdığı düşünülen kayıp eserleri:
Antik dönem yazarlarının atıflarında bahsedilen bazı eserlerin Öklid tarafından yazdığı ancak günümüze kadar gelmediği düşünülüyor. Örneğin Konikler isimli kitabında konik kesitler hakkında çalışmalar yapmıştır. Aynı konu Pergalı Apollon tarafından daha geniş bir şekilde anlatılmıştır.
Mekanik üzerine yapılan sayısız çalışma, özellikle Arap kaynaklarında, Öklid’e atfedilir. Gezenek Yüzeyi isimli yüzeyler hakkındaki çalışmaları ve Yanlışlar Kitabı adındaki akıl yürütme hataları hakkındaki çalışmaları da Öklid’in kayıp eserleri arasındadır. Porism isimli bir başka kitabın ise konik kesim çalışması olduğu düşünülür ancak kitabın isminin anlamı konusunda herkesin farklı düşünceleri vardır.
Geometrinin kurucusu olarak kabul edilen Öklid kimdir, Öklid teoremi nedir gibi merak edilen soruları yanıtladık. Öklid çalışmaları üzerine yapılan ispatlar epey karmaşık sayısal kavramlar içerdiği için kafa karıştırmaması adına yer vermedik.
